Paradoxe de Bertrand

Le paradoxe de Bertrand, est un grand paradoxe de probabilités qui s'énonce relativement simplement. Il met cependant en lumière notre mauvaise conception des problèmes probabilistes (donc non linéaires).

Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur c~=~\sqrt{27}~=~3\sqrt3.

Le paradoxe de Bertrand consiste à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à c.
\newcommand\ddfrac[2]{\frac{\displaystyle #1}{\displaystyle #2}}

  1. Extrémités aléatoires : soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Elle est plus longue que le côté du triangle si le deuxième point est situé sur l'arc reliant les deux sommets du triangle opposé au premier point. La probabilité est donc alors \frac13.
  2. Rayon aléatoire : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu. Cette corde est plus longue que le côté du triangle si le point est situé entre le centre du cercle et l'intersection du côté avec le rayon, laquelle est située au milieu de ce dernier. La probabilité est donc alors \frac12.
  3. Milieu aléatoire : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle, on considère la corde dont il est le milieu, ou un diamètre du cercle si le point choisi est le centre. Cette corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle concentrique de rayon \frac12. L'aire de ce cercle est un quart de celle du grand cercle. La probabilité est donc alors \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}.
Illustrations des méthodes de calcul de la probabilité recherchée.

(source wikipedia)

Ce paradoxe montre que la notion de « choisie au hasard » est floue et trop imprécise pour mener une réflexion poussée sur certains sujets.

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